MODUL 9

3-6 Teorema Thevein dan Teorema Norton

Sekarang setelah kita mempunyai prinsip superposisi, maka kita dapat mengembangkan dua teorema lagi yang akan sangat menyederhanakan analisis banyak rangkaian linear. Yang pertama dari teorema ini mengikuiti nama M.L Thevenin, seorang insinyur Perancis yang bekerja di bidang telegrafi, yang pertama sekali mengumumkan teorema ini tahun 1883; yang kedua dapat ditinjau sebagai akibat dari yang pertama dan didapatkan oleh E. L. Norton, seorang ilmuwan yang bekerja di Bell Telephone Laboratories.

Teorema Thevenin mengatakan bahwa adalah mungkin mengganti semuanya (terkecuali tahanan beban) dengan sebuah rangkaian ekivalen yang mengandung hanya sebuah sumber tegangan bebas yang seri dengan sebuah tahanan; respons yang diukur pada tahanan beban tidak akan berubah. Dengan menggunakan teorema Norton kita dapatkan sebuah ekivalen yang terdiri dari sebuah sumber arus bebas yang pararel dengan sebuah tahanan.

           

                                                                                   

Gambar 3-7: Sebuah rangkaian penahan sederhana dibagi menjadi jaringan A, terhadap mana kita tak berminat, dan jaringan B, sebuah tahanan beban dengan mana kita tertarik.

 

Gambar 3-8: Transformasi-transformasi sumber dan kombinasi tahanan yang terlibat di dalam menyederhanakan jaringan A, diperlihatkan berurutan. Hasilnya, diberikan dalam (d) yakni ekivalen Thevenin.

Harus jelas bahwa satu di antara kegunaan utama teorema Thevenin dan theorema Norton adalah penggantian bagian besar dari sebuah jaringan, seringkali sangat sukar, dengan ekivalen yang sangat sederhana. Rangkaian baru yang lebih sederhana ini memungkinkan kita membuat perhitungan cepat dari tegangan, arus, dan daya yang diberikan oleh rangkaian asal kepada sebuah beban. Dalam penguat dengan daya transistor misalnya, ekivalen Thevenin atau Norton membolehkan kita menentukan daya maksimum yang dapat diambil dari penguat dan jenis beban yang diperlukan untuk untuk mencapai pemindahan daya maksimum atau untuk mendapatkan penguatan arus atau tegangan praktis maksimum. Sebagai contoh, kita tinjau rangkaian yang diperlihatkan dalam gambar 3-7. Garis putus-putus memisahkan rangkaian menjadi jaringan A dan jaringan B; kita anggap bahwa minat kita yang utama adalah jaringan B, yang hanya terdiri dari tahanan beban R_L. Jaringan A dapat disederhanakan dengan mengulangi transformasi sumber. Mula-mula kita perlakukan sumber 12-V dan tahanan 3-W sebagai sumber tegangan tegangan praktis dan menggantinya dengan sebuah sumber arus praktis yang terdiri dari sumber 4-A yang paralel dengan 3 W. Tahanan-tahanan paralel kemudian dikombinasikan menjadi 2 W, dan sumber arus praktis yang dihasilkan ditranformasikan kembali kepada sumber tegangan praktis. Langkah-langkah tersebut ditunjukkan dalam Gambar 3-8, hasil akhir muncul dalam Gambar 3-8d. Dari pandangan tahanan beban R_L, rangkaian ini (ekivalen Thevenin) adalah ekivalen dengan rangkaian asal; dari pandangan kita, rangkaian itu jauh lebih sederhana dan kita sekarang dapat dengan mudah mengitung daya yang diberikan pada beban. Hasilnya

Selanjutnya kita dapat melihat dari rangkaian ekivalen bahwa tegangan maksimum yang bisa didapat melintasi R_L adalah 8 V bila R_L = ¥; transformasi cepat jaringan A kepada sebuah sumber arus praktis (ekivalen Norton )menunjukan bahwa arus maksimum yang dapat diberikan kepada beban adalah 8/9A untuk R_L = 0; dan teorema pemindahan daya maksimum memperlihatkan bahwa daya maksimum diberikan pada R_L bila R_L adalah 9 W. Tidak ada di antara kenyataan ini yang dengan mudah nampak dari rangkaian asal.

            Jika jaringan A lebih sukar, maka banyaknya transformasi sumber dan kombinasi tahana yang perlu mendapat ekivalen Thevenin atau ekivalen Norton menjadi sangat berat dan banyak; juga dengan adanya sumber-sumber tak bebas, maka metode transformasi sumber biasanya tak terpakai. Teorema Thevenin dan Norton memungkinkan kita mencari rangkaian ekivalen lebih cepat dan lebih mudah, walaupun dalam rangkaian yang lebih sukar.

            Kita katakan sekarang teorema Thevenin secara formal :     

Bila diketahui rangkaian linear, atur rangkaian itu dalam bentuk dua jaringan A dan B yang bersama-sama dihubungkan oleh konduktor yang tak punya tahanan. Jika salah satu jaringan mengandung sebuah sebuah sumber tak bebas, variabel pengontrolnya haruslah dalam jaringan yang sama. Definisi tengah voc sebagai tengah rangkaian terbuka yang akan timbul melintasi terminal-terminal A dan B diputuskan sehingga tak ada arus yang ditarik dari A. maka semua arus dan tegangan di dalam B tidak akan berubah jika A dimatikan (semua sumber tegangan bebas dan sumber arus bebas dalam A diganti oleh hubungan pendek dan rangkaian terbuka) dan sumber tegangan bebas voc dihubungkan , dengan pengutuban yang benar, secara seri dengan jaringan A yang mati (tak aktif).

 

           

Teorema Norton mempunyai banyak sekali persamaan dengan teorema Thevenin yakni konsekuensi lain dari dualitas. Kedua pernyataan ini akan digunakan sebagai contoh bahasa dual bila prinsip dualitas dibicarakan di dalam bab berikutnya.

Teorema Norton dapat dikatakan sebagai berikut :

Diketahui suatu rangkaian linear; susun rangkaian manjadi dua jaringan A dan B yang dihubungkan oleh dua konduktor yang tak mempunyai tahanan. Jika salah satu mengandung sebuah sumber tak bebas, variabel pengntrolnya harus berada dalam jaringan yang sama. Definisikan arus isc sebagai arus hubungan pendek yang akan timbul pada terminal A jika B dihubung-pendekkan sehingga tidak ada tegangan yang disediakan A. maka semua tegangan dan arus dalam B tetap tak berubah jika A dimatikan (semua sumber arus bebas dan sumber tegangan  bebas dalam A diganti oleh rangkaian terbuka dan hubungan pendek) dan sebuah sumber arus bebas isc dihubungkan, dengan pengutuban yag wajar, paralel dengan jaringan A yang mati (tak aktif).

 

           

Ekivalen Norton dari sebuah jaringan penahan yang aktif adalah sumber arus Norton i_sc yang paralel dengan tahanan Thevenin R_th.

Ada hubungan penting diantara ekivalen Thevenin dan Ekivalen Norton dari sebuah jaringan penahan aktif. Hubungan ini dapat diperoleh dapat digunakan dengan transformasi sumber kepada salah satu jaringan ekivalen. Misalnya, jika kita mentransformasikan ekivalen Norton, maka kita dapatkan sumber-sumber tegangan R_thi_sc yang seri dengan tahanan R_th; jaringan ini berbentuk ekivalen Thevenin sehingga

v_oc = R_th i_sc

3-7 Analisis Link dan Analisis Loop

Sekarang kita tinjau penggunaan sebuah pohon untuk mendapatkan himpunan persamaan loop yang sesuai. Di dalam beberapa segi ini adalah dual dari metode penulisan persamaan-persamaan simpul. Perlu diingatkan sekali lagi bahwa, walaupun kita mampu menjamin bahwa setiap himpunan persamaan yang kita tulis akan cukup dan bebas, namun kita tidak dapat mengharapkan bahwa metode ini akan langsung menghasilkan setiap himpunan persamaan yang mungkin ada.

            Kita mulai lagi dengan membangun sebuah pohon, dan kita menggunakan himpunan aturan yang sama seperti kita lakukan untuk analisis simpul umum. Tujuannya, baik untuk analisis simpul maupun analisis loop adalah untuk menempatkan tegangan-tegangan di dalam pohon dan arus-arus di dalam kopohon; ini adalah sebuah hukum resmi untuk sumber-sumber dan hukum yang diinginkan untuk kuantitas-kuantitas pengontrol.

            Akan tetapi, sekarang, sebagai ganti penentuan tegangan kepada setiap cabang di dalam pohon, maka kita menetapkan satu arus (termasuk panah referensi, tentunya) pada setiap elemen di dalam kopohon atau pada setiap link. Seandainya ada 10 link, maka kita akan menetapkan tepat 10 arus link. Bagi setiap link yang mengandung sebuah sumber arus maka ditetapkan bahwa arus sumber sebagai arus link. Perhatikan bahwa setiap arus link dapat juga dianggap sebagai arus loop, karena link harus terbentang diantara dua simpul khusus, dan harus ada juga sebuah jalan diantara kedua simpul khusus, dan harus ada juga sebuah jalan diantara kedua simpul yang sama melalui pohon. Jadi, kepada setiap link diasosiasikan sebuah loop tunggal yang mencakup link tersebut dan satu jalan unik melalui pohon. Jelaskan bahwa arus yang ditetapkan dapat dipikirkan baik sebagai arus loop maupun sebagai arus link. Pengertian link paling menolong pada waktu arus sedang didefinisikan, karena satu arus harus dihasilkan pada setiap link; tafsiran loop lebih memudahkan pada waktu penulisan persamaan, karena kita akan memakai hukum tegangan Kirchhoff mengelilingi setiap loop.

Persamaan hukum tegangan Kirchoff arus dituliskan sekarang mengelilingi setiap loop. Variabel-variabel yang digunakan adalah arus link yang ditetapkan. Karena tegangan melalui sebuah sumber arus tidak dapat dinyatakan arus sumber, dan karena kita sudah menggunakan harga arus sumber sebagai arus link, maka kita buang setiap loop yang mengandung sumber arus.

MODUL 10

Contoh-contoh soal yang dipecahkan :

1.      Gunakan analisis superposisi pada rangkaian berikut untuk mencari i_x.(Hal 89 No. 16 Rangkaian Listrik William H. Hyat, Jr.)

2.      Gunakan teorema superposisi dalam rangkaian yang terlihat pada Gambar berikut untuk mencari i. (Hal. 90 No. 18 Rangkaian Listrik William H. Hyat, Jr)

3.   Carilah ekivalen Thevenin bagi jaringan pada Gambar dibawah ini (Hal. 77 No. 3-8a Rangkaian Listrik William H. Hyat, Jr)

4.   Tentukan rangkaian ekivalen Thevenin dan Norton sebagaimana terlihat dari terminal a-b bagi jaringan pada Gambar berikut.(Hal 91 No.27a Rangkaian Listrik Willian H. Hyat, Jr)

 

Jawaban :

1.   Menentukan nilai i_s dapat mempergunakan 2 cara yaitu :

(a) Analisis Mesh

 

Dengan mempergunakan hukum tegangan Kirchhoff pada mesh 3 :

Adanya sumber arus pada mesh 1 dan 2 menyebabkan kita menciptakan mesh super, dan dengan mempergunakan hukum tegangan Kirchhoff disekitar loop tersebut,

Akhirnya, arus sumber dihubungkan dengan arus mesh yang dimisalkan tersebut :

kemudian kita substitusikan persamaan (iii) kedalam persamaan (i), akan didapat,

            dan pada persamaan (ii)

            Maka pada persamaan (iv) dan (v) :

(b) Analisis Superposisi

 

Bila sumber tegangan 24 V bekerja maka sumber arus 2 A diganti dengan rangkaian hubung terbuka (open circuit) sedangkan sumber tegangan 36 V diganti dengan rangkaian hubung singkat (short circuit)

 

 

Jika sumber arus 2 A bekerja maka kedua sumber tegangan 24 V dihubung singkat.

 

Arus (i_x)_2A bernilai negatif karena berlawanan arah dengan yang diminta oleh soal.

Jika sumber tegangan 36 V bekerja maka sumber tegangan 24 V di-short dan sumber arus 2 A di-open.

 

Arus (i_x)_36V bernilai negatif karena berlawanan arah dengan yang diminta oleh soal.

Maka nilai arus ix merupakan penjumlahan dari masing-masing arus yang didapat dari masing-masing sumber (baik sumber tegangan ataupun sumber arus) yang diganti dengan rangkaian tahanan dalam sumber. Dari soal ini didapat,

2.   Dengan menggunakan untuk mencari i,

 

Pertama-tama kita tinjau jika sumber arus 15 A bekerja maka kedua sumber tegangan 30 V dan 180 V dihubung singkat, sedangkan untuk sumber arus 45 A dihubung terbuka.

 

Jika sumber tegangan 30 V bekerja maka sumber arus 15 A dan 45 A diganti dengan rangkaian hubung terbuka (open circuit) sedangkan sumber tegangannya 180 V diganti dengan rangkaian hubung singkat (short circuit)

 

           

Bila sumber tegangan 45 A bekerja maka sumber arus 15 A diganti menjadi rangkaian hubung terbuka sedangkan kedua tegangan 30 V dan 180 V diganti menjadi rangkaian hubung singkat.

 

Nilai arus bernilai negatif karena berlawanan arah dengan arus yang diminta oleh soal.

Dan terakhir jika sumber tegangan 180 V bekerja maka kedua sumber arus yaitu 15 A dan 45 A diganti dengan open circuit sedangkan sumber tegangan 30 dibuat short circuit.

 

            Sehingga arus totalnya yaitu penjumlahan dari masing-masing sumber :

3.     

8 W

Rangkaian ekivalen Thevenin;

	3 A

a + Vth = υab(oc) ¯ b

           

Pertama-tama kita definisikan arus pada loop didapat

kemudian dengan mempergunakan hukum tegangan Kirchhoff pada loop i₂;

untuk medapatkan R_th, sumber tegangan bebas diganti menjadi rangkaian hubung singkat sedangkan sumber arus bebasnya diganti dengan rangkaian hubung terbuka sehingga rangkaiannya akan menjadi sebagai berikut;

a + Rth ¯ b

4.      Rangkaian ekivalent Thevenin dan Norton;

Dengan mempergunakan penjumlahan tegangan pada loop tertutup (hukum tegangan Kirchhoff) didapat;

Dengan didapatnya i₁ pada loop maka kita bisa mendapatkan V_th(oc) pada salah satu loop;

            atau pada loop satunya lagi;

Dikarenakan pada rangkaian terdapat sumber tegangan tak bebas, mencegah kita menentukan R_th langsung dari jaringan tak aktif melalui kombinasi tahanan; daripada melakukan hal tersebut, kita bisa mencari R_th melalui hubungan υ_oc dengan i_sc. Sehingga langkah kedua adalah mencari i_sc;

 

            Dengan menggunakan hukum tegangan Kirchhoff pada loop i₁ didapat;

            dan pada loop i₂,

            maka i_ab(sc),

            sehingga R_th,

            setelah didapat υ_ab(oc), i_ab(sc) dan R_th atau R_N,

 

Kerjakanlah soal-soal berikut ini (waktu 90 menit)

1.      Gunakan superposisi untuk mencari i_x di dalam masing-masing rangkaian yang diperlihatkan pada Gambar dibawah ini; (Hal 66 Soal Latihan 3-5 Rangkaian Listrik William H. Hyat Jr.)

 

2.      (a) Gunakan tiga analisis terpisah untuk mencari υ_oc, i_sc dan R_th terhadap terminal a-b bagi rangkaian yang terlihat pada Gambar berikut. (b) Gambarkan ekivalen Thevenin dan Norton sebagaimana terlihat dari a-b.(Hal. 91 No. 25 Rangkaian Listrik Willian H. Hyat, Jr.)

3.      (a) Tentukan rangkaian ekivalen Thevenin dan Norton sebagaimana terlihat dari terminal a-b bagi jaringan pada gambar di bawah ini. (b) Gantikan sumber 5 A dengan sumber tegangan tak bebas yang besarnya 5i_x (referensi sebelah kanan) dan carilah kembali ekivalen Thevenin dan Nortonnya.